Introduction to Vector 向量導言

為什麼要有向量呢? 向量顧名思義就是為了能夠表示方向，純量用正負只能表現出一個維度，但是維度可以以多個方向上的分量擴充，所以向量能表示的方向遠比純量來的豐富。相信多數人絕對沒興趣聽我講屁話，那我們就直接開始吧：

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1.向量的概念與基本運算
導言有講到了，向量就是有方向的量，但這樣似乎又講的不夠清楚。
假設座標平面上有個點A(2,3)，然後我把它跟原點連起來變成一個線段，像這樣：



若再賦予它一個方向：由 O 到 A 的方向
它就可以表示成向量OA：



至於它的長度當然就是線段OA的長度拉，我們可以用下面的式子來表示：



至於長度的計算可以透過畢氏定理來算出，這裡就略過囉。
很屁嗎? 是很屁沒錯，不想看就跳過上面吧！反正下面本來就比較重要：

1-1.向量的加減運算
至於運算，當然就是指加減乘這些運算，注意喔向量沒有除法！
假設今天有一個向量A 跟一個向量B ：



則他們的加減運算是這樣子的：





簡單說就是把同一個方向的分量做加減，好比我今天往右走一公尺，往前走一公尺，再往右走一公尺，我所在的位置相對於我出發的位置是往右兩公尺再往前一公尺，把這段有方向性的移動表示成向量的話那便是(2,1)了。至於幾何上可以用平行四邊形來解釋：



大概會是長這樣。

1-2.向量的乘法
其實乘法是向量很重要的一環，向量的乘法還可以細分為純量積與向量積。先談談純量積，純量積指的是一個向量乘上一個常數，在幾何上的意義好比等比例大小縮放。當我把向量A乘上一個r倍：



直接在分量上面乘就對了。

至於向量積，與其說是乘法，倒不如說是向量特有的某種運算規則罷了。
所謂向量的乘法分為「內積(或點積, dot)」跟「外積(或叉積, cross)」，這兩種有著「致命性(?)」的差異：

(1)兩個向量內積的結果是一個純量，而內積的值與兩向量的長度和兩向量間夾角的餘弦值有關。
同樣以上面的兩個向量作為例子：



觀察上面這個式子我們可以發現一個現象，那就是兩個相互垂直的向量內積值為0。
這是幾何上的意義，但每次都要去算這似乎有點麻煩。於是乎還有下面這個方法：



證明嘛有用到餘弦定理，雖然說應該都是先學三角函數然後才是向量，不過在這邊還是提醒一下，若是還不會三角函數的人可以考慮先去找個資料在看。證明如下：



為了能配合上面的圖，這邊第三步以向量長度來代替邊長。接著前面向量A與向量B的長度可以跟分母的消掉，然後把長度以分量表示：



到這裡應該就很明顯了吧? 接下來只需要再把它展開然後消掉，便可以得到：



至於廣義來講，內積在任何維度下皆適用，讀者有興趣可以自己試著證明看看，不過顯然上面已經給了我們很大的提示了。因此我們可以把n個維度下兩向量的內積以下面的式子來表示：



(2)兩個向量的外積是一個向量，而非純量，而這個向量的「長度」值則與兩向量的長和兩向量間夾角的「正弦值」有關：



當然我們也不可能每次都去算這個鬼東西，更何況我都說它是向量了，這根本就只有長度阿! 我們當然有別的方法，不過那暫且先擱著，我們先從外積的意義講起。
(*作者注：下面兩個問題較為概念性，敘述繁多，因此若沒有興趣的人可以跳過至下面的圖片前一段再繼續。)

畢竟既然外積是一個既定的運算方式，則它給出的東西也會是一定的，那麼它不可能沒有任何根據，因此我們先有一個定義： 外積是為了找出垂直於這兩個向量的第三個向量。既然是要同時垂直那勢必會出現一些問題：

I.平面上非平行的兩個向量就不能外積了嗎?

如果外積的向量也要在這個平面上，那麼答案是不行，不過實際上是可以的，因為你只需要把第三個分量補上0就可以了，例如：

把A(2,3)改寫成A(2,3,0)，B(3,1)改寫成B(3,1,0)，這樣空間中垂直於xy平面的向量不是就一堆了嗎? 當然這也告訴我們一個很重要的事實，那就是外積必須在空間座標下才能使用，也就是至少要3個維度。

II.如果遇到平行的兩向量來做外積那會怎麼樣呢?

這個問題最直接的答案，就是你會得到一個零向量。在空間中找出所有符合「垂直於兩非平行向量」的所有向量之後你可以發現，以同樣的基準點來看的話，這些向量會構成一條直線。例如：

物理上常用的向量i(1,0,0)與向量j(0,1,0)，這兩個向量的外積是向量k(0,0,1)，但是以原點為基準點，符合這個條件的所有向量的終點會構成整個z軸，而整個z軸也可以表示為(0,0,t)，又或著可以改寫為t*(0,0,1)，正是因為有純量積的伸縮性質，所以我們只需要求出其中的一個就夠了。

至於平行的兩向量做外積，以(1,0,0)cross(1,0,0)為例，依然以原點為基準點，所有符合此條件的向量的終點會構成yz平面，這是一個2維的空間，需要以兩個向量來表示，因此沒有唯一的答案，而實際算出來的向量就會是零向量。

相對的，維度的擴充會使自由度大幅增加，因此4維度以上(這可能有點難以想像)的外積是不具任何意義的，綜合兩個條件我們可以得知外積必須在3維空間(也就是我們平常說的空間座標)中，且要外積的兩向量不平形，外積才有意義。

至於兩向量的外積，因為顧慮到通常會先學向量然後才接行列式，因此這裡先稍微提一下，之後行列式的地方會有更容易記憶的方法。如下：



請注意！比較內積與外積的式子可以發現，內積的值不會因為 A dot B 改成 B dot A 而改變，但外積的結果會因為前後相反而差一個負號(反方向！)，換言之內積有交換律而外積沒有：



有關向量的基本運算就在此告一個段落。