Introduction to Vector 向量導言

為什麼要有向量呢? 向量顧名思義就是為了能夠表示方向，純量用正負只能表現出一個維度，但是維度可以以多個方向上的分量擴充，所以向量能表示的方向遠比純量來的豐富。相信多數人絕對沒興趣聽我講屁話，那我們就直接開始吧：

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1.向量的概念與基本運算
導言有講到了，向量就是有方向的量，但這樣似乎又講的不夠清楚。
假設座標平面上有個點A(2,3)，然後我把它跟原點連起來變成一個線段，像這樣：



若再賦予它一個方向：由 O 到 A 的方向
它就可以表示成向量OA：



至於它的長度當然就是線段OA的長度拉，我們可以用下面的式子來表示：



至於長度的計算可以透過畢氏定理來算出，這裡就略過囉。
很屁嗎? 是很屁沒錯，不想看就跳過上面吧！反正下面本來就比較重要：

1-1.向量的加減運算
至於運算，當然就是指加減乘這些運算，注意喔向量沒有除法！
假設今天有一個向量A 跟一個向量B ：



則他們的加減運算是這樣子的：





簡單說就是把同一個方向的分量做加減，好比我今天往右走一公尺，往前走一公尺，再往右走一公尺，我所在的位置相對於我出發的位置是往右兩公尺再往前一公尺，把這段有方向性的移動表示成向量的話那便是(2,1)了。至於幾何上可以用平行四邊形來解釋：



大概會是長這樣。

1-2.向量的乘法
其實乘法是向量很重要的一環，向量的乘法還可以細分為純量積與向量積。先談談純量積，純量積指的是一個向量乘上一個常數，在幾何上的意義好比等比例大小縮放。當我把向量A乘上一個r倍：



直接在分量上面乘就對了。

至於向量積，與其說是乘法，倒不如說是向量特有的某種運算規則罷了。
所謂向量的乘法分為「內積(或點積, dot)」跟「外積(或叉積, cross)」，這兩種有著「致命性(?)」的差異：

(1)兩個向量內積的結果是一個純量，而內積的值與兩向量的長度和兩向量間夾角的餘弦值有關。
同樣以上面的兩個向量作為例子：



觀察上面這個式子我們可以發現一個現象，那就是兩個相互垂直的向量內積值為0。
這是幾何上的意義，但每次都要去算這似乎有點麻煩。於是乎還有下面這個方法：



證明嘛有用到餘弦定理，雖然說應該都是先學三角函數然後才是向量，不過在這邊還是提醒一下，若是還不會三角函數的人可以考慮先去找個資料在看。證明如下：



為了能配合上面的圖，這邊第三步以向量長度來代替邊長。接著前面向量A與向量B的長度可以跟分母的消掉，然後把長度以分量表示：



到這裡應該就很明顯了吧? 接下來只需要再把它展開然後消掉，便可以得到：



至於廣義來講，內積在任何維度下皆適用，讀者有興趣可以自己試著證明看看，不過顯然上面已經給了我們很大的提示了。因此我們可以把n個維度下兩向量的內積以下面的式子來表示：



(2)兩個向量的外積是一個向量，而非純量，而這個向量的「長度」值則與兩向量的長和兩向量間夾角的「正弦值」有關：



當然我們也不可能每次都去算這個鬼東西，更何況我都說它是向量了，這根本就只有長度阿! 我們當然有別的方法，不過那暫且先擱著，我們先從外積的意義講起。
(*作者注：下面兩個問題較為概念性，敘述繁多，因此若沒有興趣的人可以跳過至下面的圖片前一段再繼續。)

畢竟既然外積是一個既定的運算方式，則它給出的東西也會是一定的，那麼它不可能沒有任何根據，因此我們先有一個定義： 外積是為了找出垂直於這兩個向量的第三個向量。既然是要同時垂直那勢必會出現一些問題：

I.平面上非平行的兩個向量就不能外積了嗎?

如果外積的向量也要在這個平面上，那麼答案是不行，不過實際上是可以的，因為你只需要把第三個分量補上0就可以了，例如：

把A(2,3)改寫成A(2,3,0)，B(3,1)改寫成B(3,1,0)，這樣空間中垂直於xy平面的向量不是就一堆了嗎? 當然這也告訴我們一個很重要的事實，那就是外積必須在空間座標下才能使用，也就是至少要3個維度。

II.如果遇到平行的兩向量來做外積那會怎麼樣呢?

這個問題最直接的答案，就是你會得到一個零向量。在空間中找出所有符合「垂直於兩非平行向量」的所有向量之後你可以發現，以同樣的基準點來看的話，這些向量會構成一條直線。例如：

物理上常用的向量i(1,0,0)與向量j(0,1,0)，這兩個向量的外積是向量k(0,0,1)，但是以原點為基準點，符合這個條件的所有向量的終點會構成整個z軸，而整個z軸也可以表示為(0,0,t)，又或著可以改寫為t*(0,0,1)，正是因為有純量積的伸縮性質，所以我們只需要求出其中的一個就夠了。

至於平行的兩向量做外積，以(1,0,0)cross(1,0,0)為例，依然以原點為基準點，所有符合此條件的向量的終點會構成yz平面，這是一個2維的空間，需要以兩個向量來表示，因此沒有唯一的答案，而實際算出來的向量就會是零向量。

相對的，維度的擴充會使自由度大幅增加，因此4維度以上(這可能有點難以想像)的外積是不具任何意義的，綜合兩個條件我們可以得知外積必須在3維空間(也就是我們平常說的空間座標)中，且要外積的兩向量不平形，外積才有意義。

至於兩向量的外積，因為顧慮到通常會先學向量然後才接行列式，因此這裡先稍微提一下，之後行列式的地方會有更容易記憶的方法。如下：



請注意！比較內積與外積的式子可以發現，內積的值不會因為 A dot B 改成 B dot A 而改變，但外積的結果會因為前後相反而差一個負號(反方向！)，換言之內積有交換律而外積沒有：



有關向量的基本運算就在此告一個段落。

II. Product Rule 積法則

接下來第二個要提到的的是積法則，指的是對兩個函數的乘積微分時的狀況。

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上面的 f 和 g 個代表一個 x 的函數，對於這種情況我們並不能太直接的去做



依然先從導數極限定義開始：



不知道該怎麼辦了對嗎?接下來我們需要做個小動作便可以讓他繼續下去：





分開成兩項之後再逐一擊破，先來看左邊這一項：



公因式提出來之後，剩下的變成一個f(x)的導數形式，整理完之後再取極限就會得到：



同理，將右邊的整理一下變成





在左右兩式都算出來之後，當然就是加起來拉! 綜合我們所得到的可以寫成我們的第二個主題 ── 積法則：



不過表示成下面這樣會稍微好看一點

I. Power Rule 冪法則

首先：微分法則第一條的冪法則，是用在一般多項式的微分，也就是變數在底數(例如：x 的 n 次方)的形式。

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* 冪法則
首先讓我們先從最基本的多項式函數開始：



當然我們還不知道，所以先從極限定義來下手：



先來處理裡面的部分：



展開的地方是依據二項式定理，後面(...)的地方因為提出公因式之後就沒有用處了所以就省略掉。然後前後的 n 次項消掉可以得到：



化簡之後讓我們回到原本的問題，取極限:



由於前面項和極限的變數 Δx 無關，因此可以直接提出來；而後面項將 Δx 趨近於 0 帶入後整項皆會消失，因此我們的極限最後會變成：



就得出了微分的第一個法則 ── 冪法則：

Differential Rules 微分法則

講完導數的基本定義之後，就進入稍微複雜點的微分基本運算。為了不要每次都使用極限定義來微分，我們會需要歸納出一些原則來方便運算。

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微分的表示方式如下：



下面的 dx 意思是對 x 微分，因此當我們拿 y 對 x 微分則會得到：



而平常我們又會令 y = f(x)，因此上式也可以該寫成：



另外我們也會在右上角加一撇代表一次微分(或稱一階導數，至於階就留到之後再講)：



或著是



所有有關微分的表示法大致上就到這裡，接下來才是最重要的運算。

Derivatives 導數

在介紹完極限之後，終於要進入微積分的第一個重點：微分。微分可以說是一個動作，而微分下的產物即稱為導數(或導函數)，現在我們就來介紹導數的意義以及定義。

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* 導數的意義
導數是什麼呢，簡單來說它就是我們所熟悉的斜率，但我們所關注的並非是某個區段的平均斜率，而是任一點的切線斜率。首先先從斜率的定義來下手，斜率即是垂直變化量除以水平變化量：



而通常我們會視 y 為 x 的函數，即 y=f(x)，則上式可以改寫成：



當 Δx 有一定的數值時，這裡的斜率會是平均斜率，也就是說它是一個區段的總變化量，而非一點的瞬間變化量



像上面這樣的直線我們會稱為那條曲線的割線，因為它並非交於一點，但導數所關心的是極細微的變率，也就是切線的斜率。至於該如何得到切線呢？即是從割線來一步步逼近：



當你所取的兩個點之間的水平距離(即 Δx )越小時，所得到斜率便會越接近切線的斜率，因此在 Δx 趨近於 0 的情況下，便得到了導數的極限定義：



而這就是微分的基本定義。

Limit and Continuity 極限與連續性

首先，版主遇到了一個情況：版主本人是個普通高中二年級學生，現在的數學課正在上圓錐曲線，可是讀高職的朋友卻已經在上微積分了...其實我還想繼續說下去不過牢騷就到此結束，本站只是為了要幫助有興趣或有需求的人，所以現在就進入微積分的先備課程：極限。

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1. 極限
有些人在剛開始接觸極限時會有個疑問，因為一開始只需要把數字帶進去多項式內即可得到答案，但實際上這個名詞既然不稱為等於，那便是有它的意義在的。極限意味著「極度接近」，或著比較常用的名詞是「趨近於」。

先來觀察以下的函數：



在普通的情況下這個函數可以視為



我們當然可以說：在 x=0 時，有 y=1 的對應關係，但 x=1 呢?
在 x=1 時，原本的式子會變成 0/0 ，也就是所謂的不定式，這種時候它的解並不存在。

但我們所關注的是極限。
在 x 越來越接近 1 (重點是還沒達到)時， y=x+1 的關係依然成立，因此我們可以預測的到這個函數原本的走向：
也就是說在 x 漸漸接近 1 時， y 的值也漸漸的在接近 2 ，但並不會「等於」。

所以說在這個其情況下，我們會說：在 x 趨近於 1 時， y 的極限為 2 。

上面這句話可以表現成下面的這個式子



你可能很好奇為何需要提到極限這檔事，因為某部分的極限都是把趨近於的數值帶進去就好，但還是會有一些特別的函數無法直接帶進去計算，下面再舉一個例子：



從上面的式子可以看到：當 x 越來越接近 0 時， 1/x 會越來越大而且加速的越來越快，可是正弦函數是一個有固定值域的函數，因此無論 1/x 再怎麼變化，它的函數值依然只會在 -1 到 1 之間震盪，並不會「趨近於」任何一個數，因此我們說它的極限不存在。

另外還有一種極限不存在的例子：



為什麼說它的極限不存在呢？跟接下來要提到單邊極限有關。
所謂的單邊極限即是從函數的左右其中一邊來趨近於這個值，先在一下這個函數的圖形：



這個函數在取極限的時候，從左右兩側趨近各有不同的答案；從右側趨近的話可以表示成：



0 右上角的 + 代表著從正向(即右側)趨近，因此我們稱為它的右極限。

若是從左側的話：



相對的，負號則代表著負向，因此這個代表的是左極限。

在左右極限不相等的情況下，代表著兩側的函數趨向不同的位置，因此我們能夠判斷出這個函數在這個點上有一個沒有接起來的斷面，因此我們也會說這個極限不存在。


2. 連續性
所謂的連續也有它嚴謹的定義，詳細內容如下：



這三個條件的意義為何呢？讓我們來一一解釋：

*條件1是在說明，你要連續的時候至少那個值要是存在的；例如你永遠無法判斷 y=logx 在 x<0 是否連續，因為它根本沒有定義。

*條件2的意思在上面的極限有提到，若極限存在至少能判斷它在那個點上並沒有左右斷開來。

*條件3是綜合上面兩條，意思是函數能夠沿著任何一邊趨近於並且到達這個值，而這個值正好是該點的函數值。