Limit and Continuity 極限與連續性

首先，版主遇到了一個情況：版主本人是個普通高中二年級學生，現在的數學課正在上圓錐曲線，可是讀高職的朋友卻已經在上微積分了...其實我還想繼續說下去不過牢騷就到此結束，本站只是為了要幫助有興趣或有需求的人，所以現在就進入微積分的先備課程：極限。

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1. 極限
有些人在剛開始接觸極限時會有個疑問，因為一開始只需要把數字帶進去多項式內即可得到答案，但實際上這個名詞既然不稱為等於，那便是有它的意義在的。極限意味著「極度接近」，或著比較常用的名詞是「趨近於」。

先來觀察以下的函數：



在普通的情況下這個函數可以視為



我們當然可以說：在 x=0 時，有 y=1 的對應關係，但 x=1 呢?
在 x=1 時，原本的式子會變成 0/0 ，也就是所謂的不定式，這種時候它的解並不存在。

但我們所關注的是極限。
在 x 越來越接近 1 (重點是還沒達到)時， y=x+1 的關係依然成立，因此我們可以預測的到這個函數原本的走向：
也就是說在 x 漸漸接近 1 時， y 的值也漸漸的在接近 2 ，但並不會「等於」。

所以說在這個其情況下，我們會說：在 x 趨近於 1 時， y 的極限為 2 。

上面這句話可以表現成下面的這個式子



你可能很好奇為何需要提到極限這檔事，因為某部分的極限都是把趨近於的數值帶進去就好，但還是會有一些特別的函數無法直接帶進去計算，下面再舉一個例子：



從上面的式子可以看到：當 x 越來越接近 0 時， 1/x 會越來越大而且加速的越來越快，可是正弦函數是一個有固定值域的函數，因此無論 1/x 再怎麼變化，它的函數值依然只會在 -1 到 1 之間震盪，並不會「趨近於」任何一個數，因此我們說它的極限不存在。

另外還有一種極限不存在的例子：



為什麼說它的極限不存在呢？跟接下來要提到單邊極限有關。
所謂的單邊極限即是從函數的左右其中一邊來趨近於這個值，先在一下這個函數的圖形：



這個函數在取極限的時候，從左右兩側趨近各有不同的答案；從右側趨近的話可以表示成：



0 右上角的 + 代表著從正向(即右側)趨近，因此我們稱為它的右極限。

若是從左側的話：



相對的，負號則代表著負向，因此這個代表的是左極限。

在左右極限不相等的情況下，代表著兩側的函數趨向不同的位置，因此我們能夠判斷出這個函數在這個點上有一個沒有接起來的斷面，因此我們也會說這個極限不存在。


2. 連續性
所謂的連續也有它嚴謹的定義，詳細內容如下：



這三個條件的意義為何呢？讓我們來一一解釋：

*條件1是在說明，你要連續的時候至少那個值要是存在的；例如你永遠無法判斷 y=logx 在 x<0 是否連續，因為它根本沒有定義。

*條件2的意思在上面的極限有提到，若極限存在至少能判斷它在那個點上並沒有左右斷開來。

*條件3是綜合上面兩條，意思是函數能夠沿著任何一邊趨近於並且到達這個值，而這個值正好是該點的函數值。