Derivatives 導數

在介紹完極限之後，終於要進入微積分的第一個重點：微分。微分可以說是一個動作，而微分下的產物即稱為導數(或導函數)，現在我們就來介紹導數的意義以及定義。

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* 導數的意義
導數是什麼呢，簡單來說它就是我們所熟悉的斜率，但我們所關注的並非是某個區段的平均斜率，而是任一點的切線斜率。首先先從斜率的定義來下手，斜率即是垂直變化量除以水平變化量：



而通常我們會視 y 為 x 的函數，即 y=f(x)，則上式可以改寫成：



當 Δx 有一定的數值時，這裡的斜率會是平均斜率，也就是說它是一個區段的總變化量，而非一點的瞬間變化量



像上面這樣的直線我們會稱為那條曲線的割線，因為它並非交於一點，但導數所關心的是極細微的變率，也就是切線的斜率。至於該如何得到切線呢？即是從割線來一步步逼近：



當你所取的兩個點之間的水平距離(即 Δx )越小時，所得到斜率便會越接近切線的斜率，因此在 Δx 趨近於 0 的情況下，便得到了導數的極限定義：



而這就是微分的基本定義。