首先:微分法則第一條的冪法則,是用在一般多項式的微分,也就是變數在底數(例如:x 的 n 次方)的形式。
* 冪法則
首先讓我們先從最基本的多項式函數開始:
![](https://lh6.googleusercontent.com/-
kEFAJkiDU-Q/T89wswsLbdI/AAAAAAAAATs/30UZsSLsIcg/s230/differential%2520rules%2520-%2520006.png)
當然我們還不知道,所以先從極限定義來下手:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEij8_qWWaeeL3sFvmGfw5BfBeDdZS1JKlOXH1IIG4oWmf2b9dyOIA6mELKya7QI5Yxv3f19eHJQqiAkA-j1G2ANl-A4UJ7d-o2r2xYHX-F4L9jrsq6biocGDzdbOXiflW92iBAFIZ4LL1hr/s387/differential%2520rules%2520-%2520007.png)
先來處理裡面的部分:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgInV0j37ScRBDtyJp7XhI3IjLmNnUcj1Jg-k_t1TqtuD-WXFeN1a0ewO7v2DMCwZ25Mv-1uzjoV2OUe6GeBowk6oquT7wRQQ7agUSrqEdUCzrsN3EL9RYqeHjzXSucv2hrxBcTwGRqt1UU/s909/differential%2520rules%2520-%2520008.png)
展開的地方是依據二項式定理,後面(...)的地方因為提出公因式之後就沒有用處了所以就省略掉。然後前後的 n 次項消掉可以得到:
![](https://lh3.googleusercontent.com/-
gYIG7iUoakU/T892_e0mP1I/AAAAAAAAAUo/8BxG-9zHK1A/s815/differential%2520rules%2520-%2520009.png)
化簡之後讓我們回到原本的問題,取極限:
![](https://lh5.googleusercontent.com/-
6cdNhLl9uoY/T895jdTQMOI/AAAAAAAAAU8/q01Xvbgkovk/s779/differential%2520rules%2520-%2520010.png)
由於前面項和極限的變數 Δx 無關,因此可以直接提出來;而後面項將 Δx 趨近於 0 帶入後整項皆會消失,因此我們的極限最後會變成:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiLhXJyIo58G-6cVriyq6ftgyyRWXKHLoaOUBp-IKw_eKgMQUMCkLF9xUz5c1_gujVLTnh7r-V3KHyB7Cu5G-ZDx6r4qM8RIyAxabae1YE0siXgUefq17oKoFWrhs9WCKVRnz1id2F2Hlyo/s508/differential%2520rules%2520-%2520011.png)
就得出了微分的第一個法則 ── 冪法則:
![](https://lh3.googleusercontent.com/-
UfcXvvg-eDc/T8-AKs0JsdI/AAAAAAAAAVk/Z1t7DLj8ZY0/s338/differential%2520rules%2520-%2520012.png)
Nice!
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