首先,版主遇到了一個情況:版主本人是個普通高中二年級學生,現在的數學課正在上圓錐曲線,可是讀高職的朋友卻已經在上微積分了...其實我還想繼續說下去不過牢騷就到此結束,本站只是為了要幫助有興趣或有需求的人,所以現在就進入微積分的先備課程:極限。
1. 極限
有些人在剛開始接觸極限時會有個疑問,因為一開始只需要把數字帶進去多項式內即可得到答案,但實際上這個名詞既然不稱為等於,那便是有它的意義在的。極限意味著「極度接近」,或著比較常用的名詞是「趨近於」。
先來觀察以下的函數:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj7Eo2xueJvIcQMRpfmSHRisDGLTYYfPgtUHmt70k_O6jwjsy09oEVJU1deQUv82dkXnda20pBFARZxBirNPFmhoyhxNucVqmvw5-pHn4G_7Ikl5OWLUsDqusQgFYy0JSVrLanB49HOwDXo/s237/limit%2520and%2520coutinuity%2520-%2520001.png)
在普通的情況下這個函數可以視為
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjrawL4_6OhsqloG8kIVhmfbFF8qIP-MsBqi_lPqJOZt4NCbdI_kUHcXEyE3dIyFmHEZ7DDXLdXw4xoAo41VhBqIutkQKX5Leut8xpIiO7toBenQ2cfamru6wdYi7I0Hzp_x9cJ3I1MUXq5/s662/limit%2520and%2520coutinuity%2520-%2520002.png)
我們當然可以說:在 x=0 時,有 y=1 的對應關係,但 x=1 呢?
在 x=1 時,原本的式子會變成 0/0 ,也就是所謂的不定式,這種時候它的解並不存在。
但我們所關注的是極限。
在 x 越來越接近 1 (重點是還沒達到)時, y=x+1 的關係依然成立,因此我們可以預測的到這個函數原本的走向:
也就是說在 x 漸漸接近 1 時, y 的值也漸漸的在接近 2 ,但並不會「等於」。
所以說在這個其情況下,我們會說:在 x 趨近於 1 時, y 的極限為 2 。
上面這句話可以表現成下面的這個式子
![](https://lh3.googleusercontent.com/-
fkqGlcoHL7c/T75Z-IkMIhI/AAAAAAAAAKQ/TS_F1m5f80k/s307/limit%2520and%2520coutinuity%2520-%2520003.png)
你可能很好奇為何需要提到極限這檔事,因為某部分的極限都是把趨近於的數值帶進去就好,但還是會有一些特別的函數無法直接帶進去計算,下面再舉一個例子:
![](https://lh3.googleusercontent.com/-
UfUjWCfmKJo/T75cl-wd7wI/AAAAAAAAAKk/ruwhLDqqC6Q/s248/limit%2520and%2520coutinuity%2520-%2520004.png)
從上面的式子可以看到:當 x 越來越接近 0 時, 1/x 會越來越大而且加速的越來越快,可是正弦函數是一個有固定值域的函數,因此無論 1/x 再怎麼變化,它的函數值依然只會在 -1 到 1 之間震盪,並不會「趨近於」任何一個數,因此我們說它的極限不存在。
另外還有一種極限不存在的例子:
![](https://lh5.googleusercontent.com/-
6Afkj3RhpH8/T75eqzCLjUI/AAAAAAAAAK4/vg9rk9vSyOo/s124/limit%2520and%2520coutinuity%2520-%2520005.png)
為什麼說它的極限不存在呢?跟接下來要提到單邊極限有關。
所謂的單邊極限即是從函數的左右其中一邊來趨近於這個值,先在一下這個函數的圖形:
![](https://lh3.googleusercontent.com/-
JwnL22oSexg/T75gQmaefoI/AAAAAAAAALM/pt-rpxCtiOQ/s912/limit%2520and%2520coutinuity%2520-%2520006.png)
這個函數在取極限的時候,從左右兩側趨近各有不同的答案;從右側趨近的話可以表示成:
![](https://lh5.googleusercontent.com/-
rU63yW-RMkU/T75iJgh8lHI/AAAAAAAAALg/2n92cUIaOGI/s242/limit%2520and%2520coutinuity%2520-%2520007.png)
0 右上角的 + 代表著從正向(即右側)趨近,因此我們稱為它的右極限。
若是從左側的話:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi5OYC872-2iumion_SoXsDeQLHGlTbKJ6sVPJqrss5L8vw8gA_MjnmTtWU7bxV9QTinPNROBuAmn_kdeEfLeTpbHoGJ6QC4g0oO_ra8fTsKjl6eGqRGsOlqijq04r6FltrYobd8xQTXJ6Y/s242/limit%2520and%2520coutinuity%2520-%2520008.png)
相對的,負號則代表著負向,因此這個代表的是左極限。
在左右極限不相等的情況下,代表著兩側的函數趨向不同的位置,因此我們能夠判斷出這個函數在這個點上有一個沒有接起來的斷面,因此我們也會說這個極限不存在。
2. 連續性
所謂的連續也有它嚴謹的定義,詳細內容如下:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjHzw-wEadOcULnlB_3L-pJqXZwQvxPAq8Q_9L65Tk25xKz01SowKb8cOJ5htd9tmSvP1N7DQN45NKODKj84_ncjCwyGjC6IeCJ4GcpNuNAf46f0UibmqccBtj1sxMsNpNwBhAKHnmCo9-T/s599/limit%2520and%2520coutinuity%2520-%2520009.png)
這三個條件的意義為何呢?讓我們來一一解釋:
*條件1是在說明,你要連續的時候至少那個值要是存在的;例如你永遠無法判斷 y=logx 在 x<0 是否連續,因為它根本沒有定義。
*條件2的意思在上面的極限有提到,若極限存在至少能判斷它在那個點上並沒有左右斷開來。
*條件3是綜合上面兩條,意思是函數能夠沿著任何一邊趨近於並且到達這個值,而這個值正好是該點的函數值。
從左右兩側趨近"各"有不同的答案~
回覆刪除真是知性的blog!看了讓人很明瞭哦
謝謝囉我還真沒看到那個"各"~
刪除其實有時候我覺得
老師們上課沒有辦法顧到整間教室裡所有學生的需求(補習班就更嚴重了)
不過畢竟他們要趕課有壓力所以也不能怪他們啦
謝謝支持囉