一元三次方程式之公式解在中學時並不會提起,通常只有在特定係數下進行因式分解才能得到三個根,而作者在此介紹一元三次方程式的常用公式解法。
首先,我們先討論下面這個方程式
![](https://lh5.googleusercontent.com/-
46JR7g8dwPY/T7ZPG1lH7RI/AAAAAAAAAFY/dZ6Y-78HlV0/s366/cubic%2520equation%2520-%2520001.png)
![](http://3.bp.blogspot.com/-
xLNYKOr9hBE/T7ZPZ4AL3qI/AAAAAAAAAFg/Vdr29Q_xvrg/s320/cubic+equation+-+002.png)
將其等式左右三次方後展開並整理一下可以得到
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgCPhmdDmSbgSGWVAmxPOVPJK_mXfgmYkAM7RFmWrty_Etol43aCairadnyBJfKEHRUItYLOnrFuPvQUfSu_rij79xTdSLkiNNNLp__9Y_ynYRm1XnklC_JjD5gXJFIboyIzOVEkn_oIbh1/s912/cubic%2520equation%2520-%2520003.png)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiwLdoNofDDge4FHJrf67rdGC539oNT-JeQdfLhJOvpi-JGEQPCSxKlmfbKAeY47Lr2pino-oj6Jb6gAJje6Y3Dt02_foPtvw92OKlzr8kRTPttj9lT7wxkauvCrsaiZc8lZvbKS0TLwNu7/s496/cubic%2520equation%2520-%2520004.png)
比較係數後可以得到 ... (*)
![](https://lh3.googleusercontent.com/-
JHtxk48kWMQ/T7Zdk8Nh2-I/AAAAAAAAAII/PwBGA0PPdkw/s484/cubic%2520equation%2520-%2520005.png)
現在我們可以寫出一個一元二次方程式,使方程式的兩根為 u3 , v3
假設下列方程式
![](https://lh6.googleusercontent.com/-
6AwigCIBYhc/T7ZQRA1_niI/AAAAAAAAAF0/NmPTFLa5i7M/s342/cubic%2520equation%2520-%2520006.png)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhI0P0TTgPgsjlH-oXQAIJiLwIzb9iP5mQ3Sqv022dr520K3ADlMn8ggkcCDcu-IaL5EcSfO21hcnQ4S_u6UehIDcshBCUGatTmB5XzxQw8WJ9hI6KlHSfyxtCjQg5k5tqaOhduDgT01y7p/s366/cubic%2520equation%2520-%2520007.png)
為了簡化式子,我們可以再假設
![](https://lh3.googleusercontent.com/-
k_RWFwvSgoo/T7ZZ5BtYAzI/AAAAAAAAAHU/GFtkV5-k0fc/s803/cubic%2520equation%2520-%2520008.png)
根據 (*) ,我們可以得到此三次方程式的三根為
![](https://lh5.googleusercontent.com/-
1GtIFWBKi4M/T7ZckeKdfHI/AAAAAAAAAHo/gYXHvE2f2ZA/s578/cubic%2520equation%2520-%2520009.png)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEizZpF4vLE9KC6c_lmOKEQfVwohhmH7kr6CWiDBDHXGsBLjUyED3g15LegaPSi0xdVhyphenhyphenAv1lnBErfjQtCfMbWjb3HD2U_ZDCt7yLfYRCGfZn8H6FoP3yHa9-q-IH2Kb0D-Ey7arndZmbGBG/s543/cubic%2520equation%2520-%2520010.png)
但這不是一元三次方程式的唯一形式,所以現在我們再接下來討論任意的一元三次方程式 :
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjCL6J3COjfOPWmzeEo3wsquBacw87MPmsF02HBLT_nYT_5hsTcSc65g_cXZVBlcrzdOeMDFUz3Al3eQMDllXZOO976zyLaOIZD-ez1msLTWEMD4gT9sJCFPLJZDE5tCgQq0eEegWE25Yxe/s614/cubic%2520equation%2520-%2520011.png)
方程式的根可以經由以下的式子來轉換
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgDrAUbBgX-M6EcyC4Ek1981qSYTgEuNX1pd1ypiVcjhcl7zigXYiROoqY8yfnsKUwEmgO4wqcadRvrKsVr9U_A9m2vRq_ZVAoAWJW77UHMECP395xK5esgAUlBkZg0rvdbtbKU0iHtExNQ/s225/cubic%2520equation%2520-%2520012.png)
然後我們就可以得到一個以 y 為變數的第1類一元三次方程式,而此處的係數轉換如下
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh3ztdWdP3xVj00_iHrbiwNuIDVs2StwdfYsrnh24FmFk4rouHniqNy8ILNKyrHoJrnPfXr2zbe9Yk4_yYC4rgYv-5edWyILmoBZSBkAne3LNn9irgC45vzyUUPcaFfV7JBXW7yceTPM6im/s614/cubic%2520equation%2520-%2520013.png)
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